Robert J. Aumann – War and Peace

, která nám usnadní další výklad (v tabulce 1). Hru hrají dva hráči – Rovana a Kolin. Každý hráč volí mezi sobeckou strategií získat 1 000 $ pro sebe nebo kooperativní strategií získat 3 000 $ pro druhého hráče.

Jsou-li oba hráči kooperativní, získávají každý 3 000 $. Je-li jeden hráč kooperativní a druhý sobecký, pak sobecký hráč získává 4 000 $. Hrají-li oba hráči sobecky, pak získávají každý pouze 1 000 $. Strategickou rovnováhou v jednotahové hře je zřejmě profil (Sobec, Sobec). Profil (Kooperace, Kooperace), který každému hráči vynese 3 000 $, je zřejmě kooperativním profilem, protože žádný hráč nemůže sobě garantovat lepší výsledek. Tento profil však není dosažitelný v rovnováze (analogie s vězňovým dilematem).

Ačkoliv kooperativní profil není rovnovážný, lze jej dosáhnout pomocí dohody. Dohoda však musí být vynutitelná.

		Kolin
		Sobec	Kooperace
Rovana	Sobec	1 000 \ 1 000	4 000 \ 0
Rovana	Kooperace	0 \ 4 000	3 000 \ 3 000

Tabulka 1: Vzájemně velkorysá hra

H

Vztah opakovaných her a kooperace.

Důležité poznání je, že opakování funguje jako vynucovací mechanismus, který umožňuje hrát kooperativní profil v rovnováze – kdy každý hráč jedná dle svého zájmu a není potřeba explicitní dohody. Ostatně toto poznání je v souladu s naší intuicí – lidé v dlouhodobých vztazích skutečně mnohem více spolupracují.

Na příkladu hry

H

vidíme, že při jednotahové hře oba hráči volí sobectví a získají 1 000 $ každý. Kdyby hráli oba kooperativně, svádělo by každého z nich polepšit si hraním sobecké strategie, která je pro sobce výhodnější. Hra tedy nutně končí ve vzájemně sobeckém profilu, který tvoří rovnováhu.

Ale v opakované hře

H^{\infty}

existuje možnost, jak hrát kooperativně. Hráči se mohou vzájemně trestat. Pokud jeden hráč hraje sobecky, druhý jej potrestá taktéž sobeckou strategií. Z dlouhodobého hlediska již není sobecká strategie výnosná. Dokonce strategie hrát kooperativně a trestat sobectví je ve hře

H^{\infty}

rovnováhou v Nashově smyslu.

To co udržuje rovnováhu v těchto hrách je hrozba trestu. Existuje zde však jedna záludnost. Hráči musí být dostatečně citliví k budoucnosti. Jejich ohodnocovací faktor budoucího zisku musí být dostatečně vysoký. Pokud pro hráče nemá dostatečnou hodnotu odměna v budoucnosti (např. hráč necitlivý k budoucnosti by raději okamžitě dostal 50 $ než 1 000 $ až za rok), pak kooperace není možná. Pro hráče necitlivého k budoucnosti je totiž lepší být sobecký nyní, protože okamžitý vyšší zisk nyní má pro něj vyšší užitek než trest někdy v budoucnu.

„Chtít mír okamžitě může způsobit, že jej nikdy nedosáhneš – ani nyní, ani v budoucnu. Ale pokud dokážeš čekat, možná míru dosáhneš již nyní.“ Důvod je již zřejmý: Strategie, která je schopna dosáhnout kooperace v rovnováze v opakované hře zahrnuje trestání v jednotlivých pod-hrách pokud ke kooperaci v dané fázi nedochází. Pokud jsou hráči příliš zaměření na současnost a málo si cení budoucnosti, pak sobecký zisk nyní může převážit nad možnými následky. To maří hrozbu trestu v budoucnosti.

Folk teorém

Výše uvedené je speciálním případem obecného principu známého jako folk teorém3
Nebo taky general feasibility theorem.

, který tvrdí, že libovolný kooperativní profil libovolné hry

G

je dosažitelný jako rovnováha v superhře

G^{\infty}

– a to i když tento profil není rovnováhou v

G

. Pro každou hru

G

tedy platí

Tvrzení. Kooperativní řešení hry

G

se shoduje s rovnovážným řešením její superhry

G^{\infty}

Perfect folk teorém

Perfektní ekvilibrium znamená, že hrozba trestu je důvěryhodná, tedy že pokud ji musí hráč uplatnit, tak po jejím uplatnění je stále v rovnováze. Pokud nás tedy trestání něco stojí, tak zřejmě není nejlepší strategií oponenta trestat do nekonečna. Může být tedy v opakovaných hrách docíleno kooperativního výsledku pomocí perfektního ekvilibria (a ne pouze strategického ekvilibria)?

Kladnou odpověď na předchozí otázku nám podává perfect folk teorém:

Tvrzení. Kooperativní řešení hry

G

se shoduje s perfektním řešením její superhry

G^{\infty}

Z důkazu perfect folk teorému vyplývá zajímavý důsledek: společnost v mnoha ohledech funguje díky faktu, že hráč trestá hřáče. A co více, druhý hráč trestá prvního, pokud nedodržuje předepsané trestání. A tak dále. Příklad: zastaví vás policista a požaduje od vás pokutu za překročení rychlosti. Mohli byste mu nabídnout úplatek, ale máte strach, aby vás neobvinil z úplatkářství. Pokud by policista chtěl úplatek přijmout, má zase on strach, abyste jej neobvinili z přijetí úplatku. A proč byste jej měli udat? Protože máte strach, aby neudal on vás. A tak dále.

Silná rovnováha

Nyní popíšeme poslední důležitý koncept. Řešení hry leží v jádře, pokud si žádná množina hráčů nemůže přilepšit. Hráči ve hře jsou v silné rovnováze, pokud se nevyplatí odchýlit z rovnováhy žádné podmnožině (při odchýlení si alespoň jeden člen podmnožiny pohorší).

Tvrzení. Řešení v jádře hry G se shoduje se silnou rovnováhou v její superhře

G^{\infty}

Závěr

Tři teorémy představené výše jsou realizací Nashova programu – vytvářejí most mezi most mezi kooperativní a nekooperativní teorií her. Shrnutí, co nám teorie her může říci o válce a míru zní: I bez externí autority vynucující dohody (např. Boha) lze na světě vybudovat mír. Přítomnost zbraní je však nevyhnutelná, stejně jako jimi vytvářená hrozba. Kdo chce mír, chystá válku.

Reference

Aumann, Robert J, "Agreeing to disagree", The annals of statistics (1976), 1236--1239.

Robert Aumann, "Robert Aumann homepage".

Hart, Sergiu, "Robert Aumann's game and economic theory", The Scandinavian Journal of Economics (2006), 185--211.

The Nobel Foundation, "The Sveriges Riksbank Prize in Economic Sciences in Memory of Alfred Nobel 2005".

The Nobel Foundation, "Prize Lecture by Robert J. Aumann (43 minutes)".

Osborne, Martin J, "A course in game theory", Cambridge, Mass.: MIT Press (1994).

Wikipedia, "Robert Aumann".